Dieser Beitrag setzt die Grundlagen voraus: Du kannst einen Hinweis lesen, kreuzt leere Felder ebenso sorgfältig an, wie du gefüllte Felder setzt, und kennst die einfache Form der Überlappung — ein Hinweis von 6 in einer Zeile mit zehn Feldern, einmal ganz nach links geschoben, einmal ganz nach rechts, und dann der Schnitt der beiden Extremfälle. Falls dir das noch nicht vertraut ist: Unser Leitfaden zum Lösen von Nonogrammen erklärt es, und die fünf Fehler, die jeder Anfänger macht ist die Vorgeschichte dazu. Beides wiederholen wir hier nicht.

Auf einem schweren Gitter ändern sich nicht die Regeln, sondern die Ökonomie. Es gibt ein einziges Gesetz: Ein Feld ist nur dann erzwungen, wenn es in jeder Anordnung, die zum Hinweis und zu deinem bisherigen Wissen passt, denselben Wert annimmt. Jede benannte Technik ist nur eine günstige Annäherung an dieses Gesetz, schnell gerade deshalb, weil sie unvollständig ist; ein schweres Rätsel bleibt stecken, wenn man die Annäherung mit der Regel verwechselt. Eine Linie läuft von links nach rechts: # steht für ein Feld, das sicher gefüllt ist, . für ein sicher leeres Feld, ? für ein noch unbekanntes Feld; die Felder sind von links ab 1 nummeriert.

Überlappung richtig: Jeder Block hat ein Fenster

Schiebe nicht einen einzelnen Hinweis hin und her; packe die ganze Linie. Setze jeden Block, unter Beachtung der bereits bekannten Felder, so weit wie legal möglich nach links, danach so weit wie legal möglich nach rechts. Damit hat jeder Block ein Fenster. Felder, die in beiden Packungen vom selben Block belegt werden, sind gefüllt; Felder, die kein Fenster erreicht, sind leer. Genau diese Zuordnung wird oft unterschlagen: Ein Feld, das in beiden Packungen von zwei verschiedenen Blöcken belegt wird, ist nicht erzwungen.

Auf einer leeren Linie wird daraus reine Arithmetik. Addiere die Hinweise, rechne für jede Lücke zwischen ihnen ein Feld hinzu und ziehe das Ergebnis von der Linienlänge ab: Das ist der Spielraum der Linie. Ein Block der Länge k erzwingt k minus Spielraum Felder; ist der Spielraum größer, erzwingt er nichts. 15 Felder mit den Hinweisen 4 4 4 haben Spielraum 1 und geben sofort neun Felder preis; 15 Felder mit dem Hinweis 5 haben Spielraum 10 und geben keines preis. Die Formel aus vielen Anleitungen — zweimal der Hinweis minus Linienlänge — ist nur der Ein-Hinweis-Sonderfall davon; auf einen einzelnen Hinweis in einer Linie mit mehreren Hinweisen angewandt, ist sie falsch.

Zwölf Felder mit den Hinweisen 4 3. Leer bringt die Linie nichts: Spielraum vier, keiner der beiden Blöcke ist größer. Nun liefert eine kreuzende Spalte ein gefülltes Feld an Position 9, also lautet die Linie ????????#???. Der 4 kann diese Markierung nicht besitzen — er würde an Feld 9 oder später enden, sodass der 3 erst bei Feld 11 beginnen könnte und über das Ende hinausliefe. Also gehört sie dem 3, der bei 7, 8 oder 9 beginnt; damit liegt Feld 12 außerhalb jedes Fensters. Der 4 muss mindestens zwei Felder vor dem Beginn des 3 enden, beginnt also irgendwo zwischen 1 und 4 — und ein vier Felder langer Block, der irgendwo dort beginnt, bedeckt immer Feld 4. Die Linie wird zu ???#????#??..

Neun Anordnungen bleiben möglich, und außer der bereits gegebenen Markierung stimmen sie nur in Feld 4 und Feld 12 überein. Beachte, wo die neue Füllung liegt: fünf Felder links von der Markierung, die sie ausgelöst hat, im anderen Block. Überlappung ist kein Eröffnungszug: Fast jedes Feld, das sie liefert, entsteht erst, wenn du die Packung auf einer Linie erneut durchführst, die du schon für erledigt gehalten hast, nachdem eine Markierung aus einer kreuzenden Spalte gekommen ist.

Was der Rand verbietet

Die Wand ist die eine Stelle in einer Linie, an der du Zugehörigkeit geschenkt bekommst; und Zugehörigkeit ist der teure Schritt. Sitzt das erste bekannte gefüllte Feld an Position j und lautet der erste Hinweis k, dann gehört dieses Feld zum ersten Hinweis, sobald links davon kein vollständiger erster Block samt Lücke mehr Platz hat — praktisch also immer dann, wenn j nicht größer ist als k plus eins. Die Felder links des dadurch entstehenden Fensters sind leer, die Felder, die in jeder Lage dieses Fensters überdeckt werden, sind gefüllt, und der Block kann nie über j plus k minus eins hinausreichen: eine Obergrenze, die auch den Rest der Linie mit einschränkt.

Der Name edge logic wird für mindestens drei verschiedene Dinge verwendet: die Anfängerregel zum Verankern, die nur greift, wenn die Markierung direkt an der Wand sitzt; das eben beschriebene Zugehörigkeitsargument; und, unter erfahrenen Lösern, eine Ableitung über zwei benachbarte Zeilen am Rand entlang. Auf einem schweren Gitter zahlt vor allem die mittlere Variante aus, denn der Rand reicht k plus ein Feld nach innen, nicht nur eins.

Zwölf Felder mit dem Hinweis 3 2 2, zunächst ohne nutzbares Leerfeld. Zwei gefüllte Felder erscheinen an den Positionen 4 und 5: ???##???????. Würde ein 2 sie überdecken, müsste links davon noch der Dreier samt Lücke unterkommen — also ein Block aus drei Feldern, der spätestens bei Feld 2 endet, unmöglich — damit gehört die Markierung dem 3. Da er beide Felder überdeckt, beginnt er bei 3 oder 4: Feld 1 und Feld 2 sind leer, Feld 3 bleibt wirklich unbekannt, und der Block kann nie über Feld 6 hinausreichen. Der erste 2 beginnt also bei 7 oder später, und weil der letzte 2 spätestens bei Feld 12 endet, muss der erste spätestens bei 8 beginnen — damit überdeckt er in jedem Fall Feld 8, und der letzte 2, der bei 10 oder 11 beginnt, überdeckt Feld 11. Die Linie wird zu ..?##??#??#?.

Jedes X, das du setzt, baut eine neue Wand

Bekannte leere Felder zerschneiden eine Linie in Segmente. Unter Beachtung der Reihenfolge der Hinweise bestimmst du, welcher Hinweis wohin passen kann: Eine Hinweisgruppe passt nur dann in ein Segment, wenn ihre Summe samt den inneren Lücken nicht länger ist als das Segment. Ein Segment, das von keinem Hinweis erreicht werden kann, ist vollständig leer; und wenn für einen bestimmten Hinweis nur ein einziges Segment groß genug ist, gehört dieser Hinweis dorthin. An diesem Punkt endet die Methode, die gewöhnlich Lückenanalyse heißt. Der nächste Schritt ist entscheidend: Sobald ein Hinweis an ein Segment gebunden ist, wird dieses Segment zu einer kurzen Linie. Prüfe die Packung darin erneut, nun gegen den Spielraum des Segments, der fast immer deutlich kleiner ist als der Spielraum der ganzen Linie.

Zwölf Felder mit dem Hinweis 5 3, wobei Feld 6 und Feld 7 durch kreuzende Spalten angekreuzt sind: ?????..?????. Vor diesen Kreuzen hatte die Linie Spielraum 3 und gab nur Feld 4 und Feld 5 her. Jetzt besteht sie aus zwei Segmenten zu je fünf Feldern. Beide Hinweise können nicht in dasselbe Segment — fünf, eine Lücke und drei brauchen neun Felder —, und die Reihenfolge ist festgelegt; also nimmt der 5 das erste Segment und der 3 das zweite. Das erste Segment hat Spielraum null, damit gibt es nur eine Anordnung: Feld 1 bis 5 sind gefüllt. Das zweite hat Spielraum zwei, daher erzwingt der 3 ein Feld, nämlich Position 10. Die Linie wird zu #####..??#??. Zwei angekreuzte Felder haben aus zwei erzwungenen Feldern sechs gemacht.

Zwei Markierungen, ein unbekanntes Feld dazwischen

Wenn zwei bekannte gefüllte Blöcke nur durch ein einziges unbekanntes Feld getrennt sind, entscheidet nicht die Lageprobe, sondern die Längenrechnung. Du trennst dieses Feld, wenn durch ein Verbinden ein Block entstünde, der länger wäre als jeder Hinweis, zu dem er gehören könnte; dafür braucht es keine weitere Voraussetzung, denn ein Block kann später nur länger werden. Du verbindest es, wenn ein leeres Feld an dieser Stelle einen Block abschließen würde, der für jeden dort möglichen Hinweis zu kurz ist — allerdings nur, wenn beide Blöcke nach außen bereits begrenzt sind, durch ein bekannt leeres Feld oder durch den Rand, weil der gemessene Block sonst noch wachsen kann. Beides setzt etwas voraus, das selten ausdrücklich gesagt wird: Du darfst die Regel erst anwenden, wenn klar ist, welche Hinweise als Besitzer der Blöcke überhaupt in Frage kommen. Dieselbe Überlegung schließt auch einen Block ab, wenn jeder mögliche Besitzer genau seine Länge hat — die Felder neben irgendeinem gefüllten Block routinemäßig anzukreuzen, ist dagegen ein anderer Schritt, und ein falscher.

Fünfzehn Felder mit den Hinweisen 5 2 2, mitten im Lösen: ??##?##???#?#??. Der Block über Feld 3 und Feld 4 muss der 5 gehören, denn ein Zweier an dieser Stelle ließe dem Fünfer keinen Platz mehr. Er beginnt bei 1, 2 oder 3 — doch ein Beginn bei 1 verlangt Feld 6 leer, ein Beginn bei 2 verlangt Feld 7 leer, und beide sind gefüllt. Also liegt der Fünfer exakt auf den Feldern 3 bis 7: Feld 5 verbindet, und die Felder 1, 2 und 8 sind leer. Die Zweier müssen die Markierungen in Feld 11 und Feld 13 abdecken; sie sind nicht benachbart, also nimmt jeder in dieser Reihenfolge eine. Der erste umfasst die Felder 10 bis 11 oder die Felder 11 bis 12 — aber bei 11 bis 12 müsste der zweite bei 14 beginnen und würde Feld 13 verfehlen. Also liegt er auf den Feldern 10 bis 11, Feld 9 ist leer, der letzte Zweier liegt auf den Feldern 13 bis 14, und Feld 12 trennt. Die Linie wird zu ..#####..##.##. und ist damit vollständig gelöst.

Wenn du nicht entscheiden kannst, zerlege in Fälle

Die Regel selbst ist einfach: Schreibe die Möglichkeiten für genau das auf, was sich nicht entscheiden lässt, meist also, welchem Hinweis ein bestimmter Block gehört. Streiche jeden Fall, der in einen Widerspruch führt, und nimm dann den Schnitt der übrigen Fälle. Alles, worin sie übereinstimmen, ist eine gültige Folgerung, auch wenn du weiterhin nicht weißt, welcher Fall der wahre ist. Bei sich kreuzenden Linien heißt das: Du nimmst für ein Feld einen Wert an und trägst die Folgen durch Zeile und Spalte weiter; erscheint ein Widerspruch, ist der Gegenwert bewiesen.

Dreizehn Felder mit Hinweis 2 2 3: ????##???.???. Die Packung von beiden Enden findet die Felder 11 bis 13 und sonst nichts; an die entscheidenden Felder kommt sie nicht heran. Teile stattdessen nach der Zugehörigkeit des Blocks in den Feldern 5 und 6. Wenn die 3 ihn besäße, müsste dieser Block bei 4 oder 5 beginnen; dann müssten die beiden Zweier samt ihrer Lücke — fünf Felder — in höchstens die ersten drei Felder passen. Widerlegt. Es bleiben zwei Fälle, je einer für jede 2, und in beiden hat der Besitzer genau die Länge zwei, also sind es exakt die Felder 5 und 6: Die Felder 4 und 7 sind in jedem Fall leer. Die 3 liegt danach rechts von Feld 7, und weil Feld 10 angekreuzt ist, bleibt ihr nur der Raum in den Feldern 8 bis 9, zu kurz, oder in den Feldern 11 bis 13. Die Linie wird zu ???.##.??.###. Welcher Zweier in den Feldern 5 und 6 sitzt, erfahren wir nie, und wir mussten es auch nicht.

Als letztes Mittel abgelegt oder in die Nähe des informierten Ratens gerückt, ist diese Methode beides nicht: Du behältst einen Wert, weil sein Gegenteil bewiesen unmöglich war, nie, weil er vielversprechend aussah.

Die beruhigende Behauptung, ein gut gemachtes Rätsel brauche so etwas nie, verwechselt zwei Eigenschaften. Ein gutes Nonogramm hat genau eine Lösung; daraus folgt nicht, dass es sich Linie für Linie zu Ende lösen lässt. In Jan Wolters Untersuchung von 2009 mit 2,491 von Menschen entworfenen Schwarz-Weiß-Rätseln hatten 81.8 Prozent eine eindeutige Lösung, die Linie für Linie erreichbar war — linienlösbar, oder simple in Batenburg und Kosters’ Terminologie —, während 15.6 Prozent zwar eine eindeutige Lösung hatten, reine Linienlogik sie aber nie erreicht. Ungefähr eines von sechs. Zu entscheiden, ob eine Hinweismenge überhaupt eine Lösung zulässt, ist NP-vollständig; zu entscheiden, ob auf einem Gitter, von dem bereits bekannt ist, dass es eine Lösung hat, auch nur ein Feld ableitbar ist, ist noch schwerer, nämlich co-NP-vollständig. Die Härte steckte von Anfang an im Hinweissystem, seit jenem Rätsel, zu dem Non Ishida und Tetsuya Nishio Ende der 1980er Jahre unabhängig voneinander fanden.

Die Fünf im festgefahrenen Gitter einordnen

Festzustecken kann drei verschiedene Ursachen haben, nicht nur eine: eine Schlussfolgerung auf der Ebene einer einzelnen Linie, die du übersehen hast; eine Schlussfolgerung, die keine einzelne Linie hergibt, zwei Linien zusammen aber schon; oder ein Nonogramm, das tatsächlich eine begrenzte Suche verlangt. Arbeite genau in dieser Reihenfolge. Mit jedem Schritt steigt der Aufwand.

1. Berechne für jede unfertige Linie den Spielraum und beginne mit dem kleinsten, nicht mit dem größten Hinweis.
2. Prüfe die Packung erneut auf jeder Linie, die seit deinem letzten Blick eine Markierung bekommen hat. Die meisten Felder liegen hier.
3. Bearbeite die äußersten Zeilen und Spalten, weil der Rand die Zugehörigkeit ohne Zusatzarbeit klärt.
4. Kreuze alles an, was du ankreuzen kannst, und prüfe die Packung danach erneut innerhalb der Segmente, die diese Kreuze gerade erzeugt haben.
5. Lies die Markierungen statt der Hinweise: einzelne unbekannte Felder zwischen Blöcken und Blöcke, deren mögliche Besitzer alle gleich lang sind.
6. Erst dann verzweigst du in Fälle, und zwar bei dem Feld mit den meisten Folgen in den kreuzenden Linien. Halte die Verzweigung flach; brich beim ersten Widerspruch ab.

Schritt zwei und Schritt vier verstärken einander. Deshalb bringt eine Linie, die in einem Durchgang nichts liefert, im nächsten plötzlich sechs Felder — und deshalb muss man beim schweren Lösen so viel gleichzeitig im Kopf behalten. Genau dort wird die Frage, ob Rätsel das Gedächtnis trainieren, interessant.

Häufig gefragt

Ist Raten jemals richtig?

Nein, und diese Unterscheidung ist keine Haarspalterei. Eine Falluntersuchung behält einen Wert bei, weil die Alternative als unmöglich erwiesen wurde; beim Raten bleibt er stehen, weil er plausibel wirkte, und ein falsches Feld wandert dann zwanzig Züge weiter, bevor der Widerspruch sichtbar wird. Wenn du nicht benennen kannst, welche Annahme du widerlegt hast, hast du geraten.

Warum funktioniert “mit den größten Zahlen anfangen” irgendwann nicht mehr?

Weil der größte Hinweis nur ein Ersatzmaß für die Größe ist, die den Ertrag wirklich bestimmt, und dieses Ersatzmaß versagt, sobald eine Linie mehr als einen Hinweis enthält. Berechne stattdessen den Spielraum und nimm dir den kleinsten vor.

Was macht ein Nonogramm eigentlich schwer?

Die Dichte, mindestens ebenso sehr wie die Größe. Untersuchungen, die den Aufwand eines Lösers an zufällig erzeugten Gittern messen, verorten den schwierigsten Bereich bei einer Dichte gefüllter Felder von ungefähr zwei Fünfteln: Darunter lässt sich wenig ableiten, darüber fast alles, und am Übergang erreicht der Aufwand seinen Höhepunkt.

Gelten diese Techniken auch für Picross, Griddlers und Hanjie?

Ohne Anpassung — das sind vier Namen für dasselbe Rätsel, und die Logik gehört zum Hinweissystem, nicht zum Hausstil eines Verlags. Unsere Übersicht der Logikrätsel zeigt, wo die Familie neben Sudoku und Kakuro steht.