Este artículo da por sabida la base: sabes leer una pista, tachas las casillas vacías con el mismo cuidado con que marcas las llenas, y conoces la forma elemental de la superposición — una pista de 6 en una fila de diez casillas, llevada al máximo hacia la izquierda y al máximo hacia la derecha, para quedarse con la intersección de ambos extremos. Si eso aún no te resulta familiar, nuestra guía para resolver nonogramas lo explica, y los cinco errores que comete todo principiante es la lectura previa. Aquí no repetiremos ninguna de las dos.

En una cuadrícula difícil no cambian las reglas, sino la economía. Hay una única ley: una casilla solo es forzada si toma el mismo valor en todas las disposiciones compatibles con la pista y con lo que ya sabes. Cada técnica con nombre es una aproximación barata a esa ley, rápida precisamente porque es incompleta, y un puzle difícil se atasca cuando quien resuelve confunde la aproximación con la regla. Una línea se lee de izquierda a derecha: # indica una casilla que sabemos llena, . una que sabemos vacía, ? una que sigue siendo desconocida; las casillas se numeran desde 1 en el extremo izquierdo.

La superposición, bien hecha: cada bloque tiene una ventana

No desplaces una pista de un lado a otro; empaqueta la línea entera. Lleva cada bloque todo lo a la izquierda que pueda ir legalmente, y después todo lo a la derecha, respetando las casillas que ya conoces. Ahora cada bloque tiene una ventana. Las casillas cubiertas en ambos empaquetados por el mismo bloque son llenas; las casillas a las que no llega ninguna ventana son vacías. Esa condición de pertenencia es la que suele perderse: una casilla cubierta en ambos empaquetados por dos bloques distintos no está forzada.

En una línea en blanco, todo se reduce a aritmética. Suma las pistas, añade una casilla por cada hueco entre ellas y réstalo de la longitud de la línea: esa es la holgura de la línea. Un bloque de longitud k fuerza k menos la holgura en casillas, y no fuerza nada cuando la holgura es mayor. Quince casillas con pistas 4 4 4 tienen holgura 1 y entregan nueve casillas de una vez; quince casillas con pista 5 tienen holgura 10 y no entregan ninguna. La fórmula que dan las guías — dos veces la pista menos la longitud de la línea — es solo el caso de una línea con una única pista, y aplicada a una sola pista dentro de una línea con varias pistas es incorrecta.

Doce casillas con pistas 4 3. En blanco no aporta nada: holgura cuatro, y ningún bloque es mayor. Ahora una columna que cruza da una casilla llena en la posición 9, así que la línea queda como ????????#???. El 4 no puede corresponder a esa marca — terminaría en la casilla 9 o más tarde, obligando al 3 a empezar en la casilla 11 y salirse por el final. Por tanto, la marca pertenece al 3, que empieza en 7, 8 o 9, lo que deja la casilla 12 fuera de toda ventana. El 4 debe terminar al menos dos casillas antes de que empiece el 3, así que empieza entre 1 y 4; y un bloque de cuatro casillas que empiece en cualquiera de esas posiciones cubre la casilla 4. La línea pasa a ser ???#????#??..

Sobreviven nueve disposiciones y, aparte de la marca ya dada, no coinciden en nada salvo en la casilla 4 y la casilla 12. Fíjate dónde ha caído la nueva casilla llena: cinco casillas a la izquierda de la marca que la provocó, dentro del otro bloque. No conviene tratar la superposición como una jugada inicial: casi todas las casillas que produce aparecen al repetir el empaquetado de una línea que creías terminada, después de que llegue una marca desde una columna que cruza.

Lo que prohíbe el borde

La pared es el único lugar de una línea que te da pertenencia gratis, y determinar a qué pista pertenece una casilla es el paso caro. Si la primera casilla llena conocida está en la posición j y la primera pista es k, entonces, siempre que no quepa a su izquierda el primer bloque completo con su hueco — en la práctica, siempre que j no sea mayor que k más uno —, esa casilla pertenece a la primera pista. Las casillas situadas a la izquierda de la ventana resultante están vacías, las cubiertas en todas sus posiciones posibles están llenas, y el bloque no puede rebasar j más k menos uno: un techo que empuja hacia abajo el resto de la línea.

El nombre lógica de bordes se usa para al menos tres cosas distintas: la regla de anclaje básica, que solo funciona cuando la marca está en la pared; el argumento de pertenencia que acabamos de ver; y, entre jugadores expertos, una deducción que recorre dos filas adyacentes junto al borde. La segunda es la que rinde en una cuadrícula difícil, porque el alcance del borde hacia dentro es de k más una casillas, no de una sola.

Una línea de doce casillas con pistas 3 2 2, sin marcas iniciales, no da nada. Aparecen dos casillas llenas en las posiciones 4 y 5: ???##???????. Si las cubriera un 2, todo lo situado a su izquierda tendría que alojar el tres más un hueco — un bloque de tres casillas que terminase como tarde en la casilla 2, imposible —, así que la marca pertenece al 3. Para cubrirlas a ambas, empieza en 3 o en 4: las casillas 1 y 2 están vacías, la casilla 3 sigue siendo realmente desconocida, y el bloque no puede pasar de la casilla 6. Por tanto, el primer 2 empieza en 7 o más tarde, y como el último 2 termina como tarde en la casilla 12, el primero debe empezar como tarde en 8; así que cubre la casilla 8 en cualquier caso, y el último 2, que empieza en 10 u 11, cubre la casilla 11. La línea queda como ..?##??#??#?.

Cada X que pones levanta una pared

Las casillas vacías conocidas cortan una línea en segmentos. Respetando el orden de las pistas, determina qué pista puede ir en cada sitio: un bloque cabe en un segmento solo si su suma más sus huecos internos no supera la longitud del segmento. Un segmento al que no puede llegar ninguna pista queda vacío por completo; y, si para una pista concreta solo hay un segmento lo bastante grande, esa pista va allí. Aquí es donde se detiene el movimiento que suele llamarse análisis de huecos. Pero conviene dar un paso más: cuando una pista queda anclada a un segmento, ese segmento pasa a comportarse como una línea corta, así que vuelve a aplicar el empaquetado dentro de él usando la holgura del segmento, que casi siempre será mucho menor que la de la línea entera.

Doce casillas con pista 5 3, y las casillas 6 y 7 tachadas por las columnas que las cruzan: ?????..?????. Antes de esas X, la línea tenía holgura 3 y solo había entregado las casillas 4 y 5. Ahora son dos segmentos de cinco. Las dos pistas no pueden compartir uno — cinco, un hueco y tres necesitan nueve casillas — y el orden es fijo, así que el 5 ocupa el primero y el 3 el segundo. El primer segmento tiene holgura cero, lo que deja una única disposición: las casillas 1 a 5 llenas. El segundo tiene holgura dos, de modo que el 3 fuerza una casilla, en la posición 10. La línea queda como #####..??#??. Dos casillas tachadas han convertido dos casillas forzadas en seis.

Dos marcas y una casilla desconocida entre medias

Cuando dos series llenas ya conocidas están separadas por una sola casilla desconocida, esa casilla se decide con aritmética de longitudes, no por colocación. Sepárala si al unir las dos series se formaría una serie más larga que cualquier pista que pudiera pertenecerle; esta mitad del razonamiento no necesita ninguna condición previa, porque una serie solo puede crecer. Únela si dejarla vacía cerraría una serie demasiado corta para cualquier pista que pudiera ocupar ese lugar — pero solo cuando ambas series estén ya limitadas por sus extremos exteriores, mediante una casilla vacía conocida o el borde, porque si no la serie que estás midiendo todavía podría crecer. Las dos ideas descansan en algo que rara vez se explicita: solo puedes aplicarlas cuando ya sabes a qué pistas podrían pertenecer esas series. La misma regla cierra una serie cuando todas sus pistas candidatas tienen exactamente su longitud — pero tachar por rutina las casillas situadas junto a cualquier serie llena es otra jugada, y es incorrecta.

Quince casillas con pistas 5 2 2, a mitad de resolución: ??##?##???#?#??. El bloque que cubre las casillas 3 y 4 tiene que ser el 5, porque un dos en esa posición dejaría al cinco sin ningún sitio donde ir. Puede empezar en 1, 2 o 3 — pero si empezara en 1, la casilla 6 tendría que estar vacía, y si empezara en 2, tendría que estar vacía la casilla 7; ambas están llenas. Por tanto, el cinco ocupa exactamente las casillas 3 a 7: la casilla 5 une, y las casillas 1, 2 y 8 están vacías. Los doses tienen que cubrir las marcas de las casillas 11 y 13, que no son adyacentes, así que cada uno toma una, en orden. El primero cubre las casillas 10 a 11 o las casillas 11 a 12 — pero si fuera de 11 a 12, el segundo empezaría en 14 y no alcanzaría la casilla 13. Así que es de 10 a 11, la casilla 9 está vacía, el último dos ocupa las casillas 13 a 14, y la casilla 12 separa. La línea queda ..#####..##.##., resuelta por completo.

Cuando no puedas decidir, divide en casos

La regla, en sí, es sencilla. Enumera las posibilidades de aquello que no puedes decidir, normalmente a qué pista pertenece una serie concreta. Descarta todo caso que termine en contradicción y quédate con la intersección de los que sobreviven: lo que todos comparten es una deducción, aunque sigas sin saber cuál de los casos era el verdadero. En líneas que se cruzan, suponer el valor de una casilla y propagarlo por fila y columna demuestra el valor contrario cuando aparece una contradicción.

Trece casillas con pista 2 2 3: ????##???.???. El empaquetado desde ambos extremos encuentra las casillas 11 a 13 y nada más; justo las casillas importantes quedan fuera de su alcance. Divide, en cambio, según a qué pista pertenece la serie de las casillas 5 y 6. Si perteneciera al 3, ese bloque empezaría en 4 o en 5, y dejaría las dos pistas de dos y su hueco — cinco casillas — para encajar, como mucho, en las tres primeras casillas. Queda refutado. Permanecen dos casos, uno por cada 2, y en ambos el bloque propietario mide exactamente dos, así que ocupa justo las casillas 5 y 6: las casillas 4 y 7 están vacías en cualquier caso. El 3 queda entonces a la derecha de la casilla 7 y, con la casilla 10 tachada, su único espacio posible es de la 8 a la 9, demasiado corto, o de la 11 a la 13. La línea queda ???.##.??.###. Nunca llegamos a saber qué dos ocupa las casillas 5 y 6, ni nos hacía falta.

Clasificar esto como último recurso, o deslizarlo hacia la conjetura informada, es equivocarse: conservas un valor porque su contrario ha quedado demostrado imposible, no porque pareciera prometedor.

La tranquilidad de que un puzle bien construido nunca exige esto confunde dos propiedades distintas. Un buen nonograma tiene exactamente una solución; de ahí no se sigue que pueda completarse línea a línea. En el estudio de Jan Wolter de 2009 sobre 2.491 puzles en blanco y negro diseñados por humanos, el 81,8 por ciento tenía una solución única alcanzable línea a línea —resoluble por líneas, o simple en la terminología de Batenburg y Kosters—, mientras que el 15,6 por ciento tenía una solución que el razonamiento por líneas, por sí solo, no llega a alcanzar. Aproximadamente uno de cada seis. Decidir si un conjunto de pistas admite alguna solución es NP-completo; decidir si siquiera una casilla es deducible, en un tablero del que ya se sabe que tiene solución, es todavía más difícil: co-NP-completo. La dificultad estuvo en el sistema de pistas desde el principio, desde el puzle al que Non Ishida y Tetsuya Nishio llegaron de forma independiente a finales de los años ochenta.

Secuenciar los cinco en una cuadrícula atascada

Quedarse atascado no es una sola situación, sino tres: una deducción de línea que se te ha pasado, una deducción que no aparece en ninguna línea por separado pero sí al combinar dos, o un puzle que de verdad exige una búsqueda acotada. Avanza en ese orden; el coste sube en cada paso.

1. Calcula la holgura de cada línea sin terminar y empieza por la más baja, no por la pista más grande.
2. Vuelve a hacer el empaquetado en toda línea que haya recibido una marca desde la última vez que la miraste. Ahí está la mayoría de las casillas.
3. Trabaja las filas y columnas más exteriores, donde el borde te da gratis a qué pista pertenece cada casilla.
4. Tacha todo lo que puedas y, después, repite el empaquetado dentro de los segmentos que acaban de crear esas tachas.
5. Lee las marcas antes que las pistas: casillas desconocidas aisladas entre series, y series para las que todos los bloques a los que podrían pertenecer tienen la misma longitud.
6. Solo entonces divide en casos, sobre la casilla con más consecuencias de cruce. Mantén la división poco profunda; detente en la primera contradicción.

Los pasos dos y cuatro se refuerzan, por eso una línea que no daba nada en una pasada puede dar seis casillas en la siguiente — y por eso resolver nonogramas difíciles obliga a retener tanto a la vez, que es donde la cuestión de si los puzles entrenan la memoria se vuelve interesante.

Preguntas frecuentes

¿Es correcto resolver por tanteo alguna vez?

No, y la diferencia no es una sutileza. En el análisis de casos conservas un valor porque has demostrado que la alternativa era imposible; en el tanteo conservas uno porque parecía prometedor, y después arrastras una casilla errónea durante veinte jugadas hasta que aparece la contradicción. Si no puedes decir qué supuesto has refutado, has tanteado.

¿Por qué deja de funcionar “empezar por los números más grandes”?

Porque la pista más grande solo es un indicador indirecto de la cantidad que de verdad determina el rendimiento, y ese indicador falla en cuanto una línea contiene más de una pista. Calcula la holgura y ataca la más pequeña.

¿Qué hace realmente difícil a un nonograma?

La densidad, al menos tanto como el tamaño. Los trabajos que miden el esfuerzo de quien resuelve sobre cuadrículas generadas aleatoriamente sitúan la zona más difícil en una densidad de casillas llenas de aproximadamente dos quintos: por debajo se puede deducir poco, por encima se puede deducir casi todo, y el esfuerzo alcanza su máximo en la transición.

¿Estas técnicas sirven para picross, griddlers y hanjie?

Sin cambios — son cuatro nombres para un mismo puzle, y la lógica pertenece al sistema de pistas, no al estilo propio de una editorial. Nuestro mapa de puzles de lógica muestra dónde se sitúa la familia junto al sudoku y el kakuro.